Question

設(shè)x、y、z是正實數(shù),且xyz=1.

       證明.                   ①

      

Answer 1

證明:要使①式成立,則只需證?

       x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³≥(1+x)(1+y)(1+z),                                             ②?

       要證明②式成立,則需證一個更強的不等式?

       x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³≥［(x+1)³+(y+1)³+(z+1)³］,?

       為此設(shè)f(t)=t⁴+t³- (t+1)³,?

       g(t)=(t+1)·(4t²+3t+1),?

       則f(t)=  (t-1)g(t),且g(t)在(0,+∞)上是嚴(yán)格遞增函數(shù).?

       ∵x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³-［(x+1)³+(y+1)³+(z+1)³］?

       =+f(y)+f(z)?

       =(x-1)g(x)+(y-1)g(y)+(z-1)g(z),?

       ∴只要證明最后一個表達式非負(fù)即可.?

       假設(shè)x≥y≥z,則g(x)≥g(y)≥g(z)>0,由xyz=1得x≥1,z≤1.?

       ∵(x-1)g(x)≥(x-1)g(y),(z-1)g(y)≤(z-1)g(z),?

       ∴(x-1)g(x)+(y-1)g(y)+(z-1)g(z)≥［(x-1)+(y-1)+(z-1)］g(y)= (x+y+z-3)g(y)≥(-3)g(y)≥0,?

即②式成立.故原不等式成立.?

       溫馨提示:本題證明過程中除了運用分析法,還結(jié)合構(gòu)造法、綜合法等.注意方法的交替使用.