Question

設x，y，z是正實數，且xyz=1．
證明：

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

3

4

．

Answer 1

分析：從不等式的結構可知是輪換式，故可根據均值不等式得：

x3

(1+y)(1+z)

+

1+y

8

+

1+z

8

≥

3x

4

，

y3

(1+z)(1+x)

+

1+x

8

+

1+z

8

≥

3y

4

，

z3

(1+x)(1+y)

+

1+x

8

+

1+y

8

≥

3z

4

，三式相加可證得結論．

解答：證明：根據均值不等式得：

x3

(1+y)(1+z)

+

1+y

8

+

1+z

8

≥

3x

4

①

y3

(1+z)(1+x)

+

1+x

8

+

1+z

8

≥

3y

4

②

z3

(1+x)(1+y)

+

1+x

8

+

1+y

8

≥

3z

4

③
①+②+③得

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

x+y+z

2

-

3

4

∵x+y+z≥3

3	xyz

=3
∴

x3

(1+y)(1+z)

+

y3

(1+z)(1+x)

+

z3

(1+x)(1+y)

≥

3

4

點評：本題主要考查了基本不等式的證明，解題的關鍵利用均值不等式，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．