Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，點D是A₁C₁的中點，則異面直線AD和BC₁所成角的大小為30°．

Answer 1

分析 可作出圖形，取AC中點E，并連接C₁E，BE，從而有C₁E∥AD，從而得到∠EC₁B或其補(bǔ)角便為異面直線AD和BC₁所成角，根據(jù)條件可以求出△BC₁E的三邊長度，從而可以得到∠BEC₁=90°，然后求sin∠BC₁E，這樣即可得出異面直線AD和BC₁所成角的大小．

解答 解：如圖，取AC中點E，連接C₁E，BE，則C₁E∥AD；

∴∠EC₁B或其補(bǔ)角為異面直線AD和BC₁所成角；
根據(jù)條件得：$BE=\sqrt{2}，{C}_{1}E=\sqrt{6}，B{C}_{1}=2\sqrt{2}$；
∴$B{E}^{2}+{C}_{1}{E}^{2}=B{{C}_{1}}^{2}$；
∴∠BEC₁=90°；
∴$sin∠E{C}_{1}B=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴∠EC₁B=30°；
∴異面直線AD和BC₁所成角的大小為30°．
故答案為：30°．

點評 考查異面直線所成角的概念及求法，直角三角形邊的關(guān)系，正弦函數(shù)的定義，以及已知三角函數(shù)值求角．