Question

4．如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為3，高為1，M為BC的中點(diǎn)，則直線B₁M與平面ACC₁A₁的夾角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)O，A₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線B₁M與平面ACC₁A₁的夾角的正弦值．

解答 解：如圖，取AC中點(diǎn)O，A₁C₁中點(diǎn)O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知B₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，1），B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0），M（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，-1），平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)直線B₁M與平面ACC₁A₁的夾角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}M}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}M}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直線B₁M與平面ACC₁A₁的夾角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．