Question

5．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使它們到直線l的距離之積為1？若存在，請(qǐng)求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，點(diǎn)P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，即為a+c=$\sqrt{2}$+1，再由a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）分類討論，利用直線l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，確定k，p的關(guān)系，設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得2b=2，即b=1，
點(diǎn)P到焦點(diǎn)F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，即為a+c=$\sqrt{2}$+1，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，
則$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{k}^{2}st+kp（s+t）+{p}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±$\sqrt{2}$時(shí)，
定點(diǎn)（-1，0）、F₂（1，0）到直線l的距離之積d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
綜上，存在兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（-1，0），使其到直線l 的距離之積為定值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問(wèn)題的研究，考查學(xué)生的計(jì)算能力，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．