Question

20．根據定積分的幾何意義計算積分的值：${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$．

Answer 1

分析 根據定積分的幾何意義，${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$表示以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-（x-1）^{2}}$dx表示如圖所示的陰影部分的面積，
因為陰影部分的面積是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，
故${∫}_{-1}^{1}\sqrt{-{x}^{2}+2x+3}dx$=$\frac{1}{4}$π×2²=π．

點評 本題考查了定積分的幾何意義，屬于基礎題．