Question

14．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2AD，則異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=2AB=2AD=2，
則A₁（1，0，2），B（1，1，0），A（1，0，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
設(shè)異面直線A₁B與AD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
∴異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．