Question

1．在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₄=a_p+a_q，記$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值為m，若數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{2}{11}$m，則2b_n+1-b_n•b_n+1=1，b₁+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{100}}{{100}^{2}}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由題意可得6=p+q，分類討論以確定$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值為m=3-$\frac{1}{4}$，從而可得b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{2}{3}$，利用數(shù)學歸納法可證明b_n=$\frac{n}{n+1}$，從而化簡$\frac{_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而利用裂項求和法求得．

解答 解：∵在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₄=a_p+a_q，
∴2+4=p+q，
當p=1，q=5時，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3-$\frac{1}{5}$，
當p=2，q=4時，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3-$\frac{1}{4}$，
當p=3，q=3時，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3+$\frac{1}{3}$，
當p=4，q=2時，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{2}$，
當p=5，q=1時，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{5}$+9，
故$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值為m=3-$\frac{1}{4}$，
故b₁=$\frac{2}{11}$m=$\frac{2}{11}$•$\frac{11}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∵2b_n+1-b_n•b_n+1=1，
∴b_n+1=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∴b₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
由數(shù)學歸納法可證明b_n=$\frac{n}{n+1}$，
$\frac{_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故b₁+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{_{100}}{{100}^{2}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應用及分類討論的思想應用，同時考查了裂項求和法的應用．