Question

10．設三角形三邊長為3，4，5，P是三角形內(nèi)的一點，則P到這三角形三邊距離乘積的最大值是$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 由勾股定理的逆定理推知該三角形為直角三角形．如圖，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為三個三角形的面積之和的形式，根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式求得答案即可．

解答 解：如圖，∵三角形三邊長為3，4，5，
∴3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形．
設P到長度為3，4，5的三角形三邊的距離分別是 x，y，z，三角形的面積為S．
則S=$\frac{1}{2}$（3x+4y+5z）=$\frac{1}{2}$×3×4，即3x+4y+5z=12，
∵12=3x+4y+5z≥3×$\sqrt{3x×4y×5z}$，即2≥$\sqrt{15xyz}$，（當且僅當3x=4y=5z時等號成立），
∴xyz≤$\frac{4}{15}$．
∴P到這三角形三邊距離乘積的最大值是$\frac{4}{15}$．

點評 本題考查了點到直線的距離，基本不等式以及三角形的面積．解題的關鍵是建立數(shù)學模型，利用基本不等式的知識求得P到這三角形三邊距離乘積的最大值．