Question

12．z=1+i
（1）設ω=z²+3$\overline{z}$-4，求ω三角形式；
（2）如果$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）把復數(shù)的具體形式代入所給的z²+3$\overline{z}$-4，根據(jù)乘方和共軛復數(shù)，算出ω的值，提出復數(shù)的模長，把代數(shù)形式變化為三角形式．
（2）先進行復數(shù)的乘除運算，把具體的復數(shù)的值代入，整理成最簡形式，得到復數(shù)相等的條件，使得復數(shù)的實部和虛部分別相等，得到關于a和b的方程組，解方程組即可．

解答 解：（1）由z=1+i，有
ω=z²+3$\overline{z}$-4=（1+i）²+3（1-i）-4
=2i+3（1-i）-4=-1-i，
ω的三角形式是$\sqrt{2}$（cos$\frac{5π}{4}$+isin$\frac{5π}{4}$）．
（2）由$\frac{{z}^{2}+az+b}{{z}^{2}-z+1}$=1-i，得到z²+az+b=（1-i）（z²-z+1），
∴（1+i）²+a（1+i）+b=（1-i）[（1+i）²-1-i+1]，
∴2i+a+ai+b=i+1，
∴ai+a+b=-i+1，
根據(jù)復數(shù)相等的定義，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$
解得a=-1，b=2．

點評 本小題考查共軛復數(shù)、復數(shù)的三角形式，復數(shù)的混合運算等基礎知識及運算能力．是一個綜合題，解題的關鍵是整理過程千萬不要出錯．