Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)式特點(diǎn)，進(jìn)行分類討論，可得單調(diào)性；

（2）結(jié)合極值點(diǎn)的特征，把目標(biāo)式中雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可證.

（1）解：由題得，其中，

考察，，其中對(duì)稱軸為，.

若，則，

此時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增；

若，則，

此時(shí)在上有兩個(gè)根，，且，

所以當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，，

所以

.

令，，則只需證明，

由于，故在上單調(diào)遞減，所以.

又當(dāng)時(shí)，，，

故，

所以，對(duì)任意的，.

綜上，可得.