Question

【題目】如圖，在四面體中，分別是線段的中點(diǎn)，，，，直線與平面所成的角等于．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)證明； (Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）先證得，再證得，于是可得平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用幾何法求解或建立坐標(biāo)系，利用向量求解即可得到所求．

（Ⅰ）在中，是斜邊的中點(diǎn)，

所以.

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以，且，

所以，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以，

又，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）方法一：取中點(diǎn)，連，則，

因?yàn)?/span>，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以平面，

所以平面．

因此是直線與平面所成的角．

故，

所以.

過(guò)點(diǎn)作于，則平面，

且．

過(guò)點(diǎn)作于，連接，

則為二面角的平面角．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以，

因此二面角的余弦值為．

方法二：

如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span> (同方法一,過(guò)程略)

則，,．

所以,,，

設(shè)平面的法向量，

則，即，取,得．

設(shè)平面的法向量

則，即，取,得．

所以，

由圖形得二面角為銳角，

因此二面角的余弦值為．