Question

13．已知 0≤x≤1，若|$\frac{1}{2}$x³-ax|≤1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 易知當(dāng)x=0時(shí)，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=0＜1；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=x|$\frac{1}{2}$x²-a|，從而化為|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$；再以a討論從而確定函數(shù)的單調(diào)性及取值，從而解得．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=0＜1，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=x|$\frac{1}{2}$x²-a|，
故|$\frac{1}{2}$x³-ax|≤1可化為|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$；
①當(dāng)a≤0時(shí)，|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$可化為$\frac{1}{2}$x²-a≤$\frac{1}{x}$，
即a≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$，
易知y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$在（0，1]上是增函數(shù)，
故只需使a≥$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，
|$\frac{1}{2}$x²-a|≤1≤$\frac{1}{x}$，故成立；
③當(dāng)a＞1時(shí)，|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$可化為-$\frac{1}{2}$x²+a≤$\frac{1}{x}$，
即a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，
（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$）′=x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，
故$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，
故a≤$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
綜上所述，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$；
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．