Question

18．已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），則函數(shù)f（x）的各極大值之和為（　�。�

• A． $\frac{{{e^x}（{1-{e^{2014π}}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． 1008²π
• C． $\frac{{{e^{2x}}（{1-{e^{2014π}}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． 1008π

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，這樣即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）為f（x）的極大值，并且構成以e^π為首項，e^2π為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求f（x）的各極大值之和即可．

解答 解：f′（x）=2e^xsinx；
x∈[0，（2k+1）π）時，f′（x）＞0；x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）時，f′（x）＜0，其中0≤k≤1007，且k∈N^*；
∴f（（2k+1）π）=e^（2k+1）π是f（x）的極大值；
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和為：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2013π=$\frac{{e}^{π}（1-{e}^{2014π}）}{{1-e}^{2π}}$．
故選A．

點評 考查極大值的定義，正弦、余弦，和積的導數(shù)的求導公式，以及等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的求和公式．