Question

11．已知f（x）=log₄（x+b），點(diǎn)（1，6）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求b的值；
（2）若f（a+2）+f（a+1）-f（a+8）=1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）確定對(duì)稱點(diǎn)（6，1）在函數(shù)f（x）的圖象上，得出方程log₄（6+b）=1，求解即可得出b的值．
（2）化簡(jiǎn)得出log₄a+log₄（a-1）-log₂（a+6）=1．轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a+6＞0}\\{\frac{a（a-1）}{a+6}=4}\end{array}\right.$求解即可得出a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（x+b），點(diǎn)（1，6）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴（6，1）在函數(shù)f（x）的圖象上，
即log₄（6+b）=1，
得出b=-2．
（2）f（x）=log₄（x-2），
∵f（a+2）+f（a+1）-f（a+8）=1，
∴l(xiāng)og₄a+log₄（a-1）-log₄（a+6）=1．
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{a+6＞0}\\{\frac{a（a-1）}{a+6}=4}\end{array}\right.$即a=8或a=-3（舍去），
故實(shí)數(shù)a的值為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象的對(duì)稱性問題，解對(duì)數(shù)方程的方法，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．