Question

7．已知O是正三角形△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△OAC的面積與△OAB的面積之比是（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件對(duì)兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行探究即可，

解答 解：$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，變?yōu)?\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，
設(shè)D，E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，
由平行四邊形法則知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$，2$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$，
故$\overrightarrow{OE}=-2\overrightarrow{OD}$，
由于正三角形ABC，
故S_△AOC=$\frac{2}{3}$S_△ADC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
又D，E是中點(diǎn)，故O到AB的距離是正三角形ABC高的一半，
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}$×S_△ABC
∴△OAC的面積與△OAB的面積之比為$\frac{2}{3}$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的加法與減法，及向量共線(xiàn)的幾何意義，本題中把兩個(gè)三角形的面積都用三角形ABC的面積表示出來(lái)，這是求比值問(wèn)題時(shí)常采用的思路，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，屬于中檔題．