Question

16．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且滿足f（x+y）=2f（x）f（y），當x＜0時，f（x）＞$\frac{1}{2}$
（1）求證：f（x）＞0；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)的表達式，利用賦值法即可證明f（x）＞0；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)之間的關(guān)系即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）利用抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．．

解答 （1）證明：∵當x＜0時，f（x）＞$\frac{1}{2}$
∴令x=-1，y=0，則f（-1）＞$\frac{1}{2}$，
則f（-1）=2f（-1）f（0），
則2f（0）=1．即f（0）=$\frac{1}{2}$，
令y=-x，
則f（0）=2f（x）f（-x）=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4f（-x）}$，
則當x＞0時，-x＜0，則f（-x）＞$\frac{1}{2}$，4f（-x）＞2，
即f（x）=$\frac{1}{4f（-x）}$∈（0，$\frac{1}{2}$），
綜上f（x）＞0；
（2）解：函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，即f（x₁-x₂）＞$\frac{1}{2}$，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=2f（x₁-x₂）f（x₂）-f（x₂）=f（x₂）[2f（x₁-x₂）-1]，
∵f（x₁-x₂）＞$\frac{1}{2}$，f（x）＞0
∴2f（x₁-x₂）-1$＞2×\frac{1}{2}-1=0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（3）解：由（1）知，當x＞0時，f（x）∈（0，$\frac{1}{2}$），
則f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{4}$等價為2f（x-2）f（2x）＜$\frac{1}{2}$．
即f（x-2+2x）＜$\frac{1}{2}$．
即f（3x-2）＜$\frac{1}{2}$．
即3x-2＞0，解得x＞$\frac{2}{3}$，
故不等式的解集為（$\frac{2}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及充分利用已知條件是解決問題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．