Question

6．若函數(shù)f（x）=2x³-3mx²+6x在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 先求f′（x）=6x²-6mx+6，根據(jù)題意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可設g（x）=6x²-6mx+6，所以討論△的取值，從而判斷g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0時，容易求出-2≤m≤2，顯然滿足g（x）≥0；△＜0時，m需要滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，這樣求出m的范圍，和前面求出的m范圍求并集即可．

解答 解：f′（x）=6x²-6mx+6；
由已知條件知x∈（2，+∞）時，f′（x）≥0恒成立；
設g（x）=6x²-6mx+6，則g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
∴（1）若△=36（m²-4）≤0，即-2≤m≤2，滿足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m²-4）＞0，即m＜-2，或m＞2，則需：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜2}\\{g（2）=30-12m≥0}\end{array}\right.$；
解得$m≤\frac{5}{2}$；
∴$m＜-2，或2＜m≤\frac{5}{2}$；
∴綜上得$m≤\frac{5}{2}$；
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$]．
故選D．

點評 考查函數(shù)單調性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象，以及判別式△的取值情況和二次函數(shù)取值的關系．