Question

8．在各項均為正的數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，猜想{a_n}的通項公式并用數(shù)學歸納法證明猜想．

Answer 1

分析 根據(jù)a₁=$\frac{1}{2}$，且，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，利用遞推公式，求出a₂，a₃，a₄．總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，
∴a_n+1=$\frac{2n+1}{4n-2}$a_n，
∴a₂=a₁•$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，a₃=a₂•$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{8}$，a₄=a₃•$\frac{5}{8}$=$\frac{7}{16}$，
于是可以猜想a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
證明如下：①當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$，猜想成立，
②假設(shè)n=k時猜想成立，即a_k=$\frac{2k-1}{{2}^{k}}$，
那么當n=k+1時，a_k+1=$\frac{2k+1}{4k-2}$•a_k=$\frac{2k+1}{2（2k-1）}$•$\frac{2k-1}{{2}^{k}}$=$\frac{2k+1}{{2}^{k+1}}$．
即n=k+1時等式也成立，
由①②可知a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N⁺．

點評 本題考查歸納推理的應用，著重考查數(shù)學歸納法，考查運算推理能力，屬于中檔題．