Question

2．求下列的極限：
（1）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4{n}^{2}-5n-1}{7+2n-8{n}^{2}}$；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2+3+…+（n-1）}{{n}^{2}}$；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）；
（4）$\underset{lim}{n→∞}$（$\sqrt{{n}^{2}+n}$-n）；
（5）$\underset{lim}{n→∞}$（$\root{n}{2}$+$\root{n}{4}$+…+$\root{n}{18}$）；
（6）$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹．

Answer 1

分析 （1）$\frac{4{n}^{2}-5n-1}{7+2n-8{n}^{2}}$變形為$\frac{4-\frac{5}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}}{\frac{7}{{n}^{2}}+\frac{2}{n}-8}$，利用數列極限運算法則即可得出；
（2）由于1+2+…+（n-1）=$\frac{（n-1）n}{2}$，$\frac{1+2+3+…+（n-1）}{{n}^{2}}$=$\frac{n（n-1）}{2{n}^{2}}$=$\frac{1-\frac{1}{n}}{2}$，利用數列極限運算法則即可得出；
（3）由于$\frac{1}{n（n+1）}$=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，可得$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$，利用數列極限運算法則即可得出；
（4）由于$\sqrt{{n}^{2}+n}$-n=$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+n}+n}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$，利用數列極限運算法則即可得出；
（5）當a≥1時，可得$\underset{lim}{n→∞}\root{n}{a}$=1．即可得出．
（6）利用$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）^{n}$=e，即可得出．

解答 解：（1）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4{n}^{2}-5n-1}{7+2n-8{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4-\frac{5}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}}{\frac{7}{{n}^{2}}+\frac{2}{n}-8}$=$-\frac{1}{2}$；
（2）∵1+2+…+（n-1）=$\frac{（n-1）n}{2}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2+3+…+（n-1）}{{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n（n-1）}{2{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-\frac{1}{n}}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）∵$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1•2}$+$\frac{1}{2•3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$=1；
（4）$\underset{lim}{n→∞}$（$\sqrt{{n}^{2}+n}$-n）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+n}+n}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$=$\frac{1}{2}$；
（5）∵a≥1時，$\underset{lim}{n→∞}\root{n}{a}$=1．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\root{n}{2}$+$\root{n}{4}$+…+$\root{n}{18}$）=9；
（6）$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ⁺¹=$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）^{n}$$•（1+\frac{1}{n}）$=e．

點評 本題考查了數列極限運算法則、重要極限、數列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．