Question

18．某校后勤處為跟蹤調(diào)查該校餐廳的當(dāng)月的服務(wù)質(zhì)量，兌現(xiàn)獎懲，從就餐的學(xué)生中隨機抽出100位學(xué)生對餐廳服務(wù)質(zhì)量打分（5分制），得到如圖柱狀圖．
（Ⅰ）從樣本中任意選取2名學(xué)生，求恰好有1名學(xué)生的打分不低于4分的概率；
（Ⅱ）若以這100人打分的頻率作為概率，在該校隨機選取2名學(xué)生進(jìn)行打分（學(xué)生打分之間相互獨立）記X表示兩人打分之和，求X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的計算結(jié)果，后勤處對餐廳服務(wù)質(zhì)量情況定為三個等級，并制定了對餐廳相應(yīng)的獎懲方案，如表所示，設(shè)當(dāng)月獎金為Y（單位：元），求E（Y）．

服務(wù)質(zhì)量評分X	X≤5	6≤X≤8	X≥9
等級	不好	較好	優(yōu)良
獎懲標(biāo)準(zhǔn)（元）	-1000	2000	3000

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算“從樣本中任意選取2名學(xué)生，恰好有一名學(xué)生的打分不低于4分”的概率值；
（Ⅱ）由X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)表格寫出Y的分布列，計算對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“從樣本中任意選取2名學(xué)生，求恰好有一名學(xué)生的打分不低于4分”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{50}^{1}{•C}_{50}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{50}{99}$≈0.51；…（3分）
（Ⅱ）X的可能取值為4，5，6，7，8，9，10；
則P（X=4）=0.2×0.2=0.04，
P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，
P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=10）=0.2×0.2=0.04；
X的分布列如下：

X	4	5	6	7	8	9	10
P	0.04	0.12	0.21	0.26	0.21	0.12	0.04

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；…..（9分）
（Ⅲ）Y的分布列為

Y	-1000	2000	3000
P	0.16	0.68	0.16

Y的數(shù)學(xué)期望為E（Y）=-1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680．…（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．