Question

9．設 P是雙曲線C：$\frac{x^2}{4}$-y²=1上的任意一點，點 P到雙曲線C的兩條漸近線的距離分別為d₁、d₂，則d₁•d₂=（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 先確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點P（x，y），求出點P到兩條漸近線的距離，結合P在雙曲線C上，即可求d₁•d₂的值．

解答 解：由條件可知：兩條漸近線分別為x±2y=0
設雙曲線C上的點P（x，y），
則點P到兩條漸近線的距離分別為d₁=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$，d₂=$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$
所以d₁•d₂=$\frac{|x+2y|}{\sqrt{5}}$•$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}^{2}-4{y}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，求出點P到兩條漸近線的距離是關鍵，屬于中檔題．