Question

18．如圖：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0）的上頂點為A，下頂點為B，左頂點為C，F(xiàn)為右焦點，過F作與AC平行的直線交橢圓于M、N兩點．
（1）若直線BF的斜率是直線AC的斜率的3倍，求橢圓的離心率．
（2）若$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OE}$，點E在橢圓上，且橢圓的長軸長為4，求橢圓的方程；
（3）若$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{PA}$；求證：直線FP的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）寫出兩條直線的斜率，由斜率的關系得到橢圓的離心率；
（2）寫出直線MN的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系結合平面向量的坐標運算求出E的坐標，代入橢圓方程求解；
（3）寫出直線MN的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出M，N的橫坐標，由向量關系得到坐標關系，代入后可得b，c的關系，結合隱含條件得到a，b的關系，再由斜率公式求得直線FP的斜率，整理后得答案．

解答 （1）解：由題意，${k}_{AC}=\frac{a}，{k}_{BF}=\frac{c}$，
由$\frac{c}=3\frac{a}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$．
∴橢圓的離心率e=$\frac{1}{3}$；
（2）解：∵橢圓的長軸長為4，∴a=2．
設MN所在直線方程為y-0=$\frac{2}$（x-c），即y=$\frac{2}$x-$\frac{bc}{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}x-\frac{bc}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得2b²x²-2b²cx+b²c²-4b²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=c，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-bc=-\frac{bc}{2}$．
∴$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=（c，-\frac{bc}{2}）$，即E（c，$-\frac{bc}{2}$），
代入橢圓方程得：$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{{c}^{2}}{4}=1$，即c²=2．
∴b²=a²-c²=4-2=2．
則橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（3）證明：直線MN的方程為y=$\frac{a}x-\frac{bc}{a}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x-\frac{bc}{a}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得2x²-2cx-b²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
解得：${x}_{1}=\frac{c-\sqrt{{c}^{2}+2^{2}}}{2}，{x}_{2}=\frac{c+\sqrt{{c}^{2}+2^{2}}}{2}$．
由$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，得x₁+2x₂=3c，即$\frac{c}{2}-\frac{\sqrt{{c}^{2}+2^{2}}}{2}+c+\sqrt{{c}^{2}+2^{2}}=3c$．
整理得：b=2c．
由${a}^{2}=^{2}+{c}^{2}=^{2}+\frac{^{2}}{4}=\frac{5^{2}}{4}$，得$a=\frac{\sqrt{5}}{2}b$．
∵$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{PA}$，∴P（$-\frac{a}{2}，\frac{2}$），又F（c，0），
∴${k}_{FP}=\frac{\frac{2}}{-\frac{a}{2}-c}=\frac{\frac{2}}{-\frac{a+b}{2}}=-\frac{a+b}$=$-\frac{（\frac{\sqrt{5}}{2}+1）b}=4-2\sqrt{5}$（定值）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，訓練了平面向量在解題中的應用，考查計算能力，是中檔題．