Question

9．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，圓O：x²+y²=13，橢圓C的左右焦點分別為F₁、F₂，過橢圓上一點P和原點O作直線l交圓O于M，N兩點，若|PF₁|•|PF₂|=6，則|PM|•|PN|的值為（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由橢圓的定義及條件有$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=6}\\{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=6}\end{array}\right.$，可解出|PF₁|，|PF₂|，設(shè)P（x，y），且${F}_{1}（-\sqrt{6}，0），{F}_{2}（\sqrt{6}，0）$，從而可以求出P點的坐標$（\frac{3}{\sqrt{2}}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}）$，這樣便可寫出直線PO的方程，而聯(lián)立圓的方程便可得出M，N的坐標，從而可以求出|PM|•|PN|的值．

解答 解：根據(jù)條件，$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=6}\\{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=6}\end{array}\right.$；
解得$|P{F}_{1}|=3+\sqrt{3}，|P{F}_{2}|=3-\sqrt{3}$；
設(shè)P（x，y），則：$\left\{\begin{array}{l}{（x+\sqrt{6}）^{2}+{y}^{2}=（3+\sqrt{3}）^{2}}\\{（x-\sqrt{6}）^{2}+{y}^{2}=（3-\sqrt{3}）^{2}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{\sqrt{2}}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\end{array}\right.$，$P（\frac{3}{\sqrt{2}}，\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}）$；
∴直線PO的方程為$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，帶入圓的方程并整理得：
${x}^{2}=\frac{39}{4}$；
∴$x=±\frac{\sqrt{39}}{2}$，y=$±\frac{\sqrt{13}}{2}$；
∴$M（\frac{\sqrt{39}}{2}，\frac{\sqrt{13}}{2}），N（-\frac{\sqrt{39}}{2}，-\frac{\sqrt{13}}{2}）$；
∴$|PM|•|PN|=\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$$•\sqrt{（\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{13}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19-2\sqrt{78}}•\sqrt{19+2\sqrt{78}}=7$．
故選A．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的定義，以及兩點間距離公式，直線的點斜式方程，數(shù)形結(jié)合解題的方法．