Question

13．已知函數(shù)f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$（x＞0）（e為自然對(duì)數(shù)的底）
（1）若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，滿足x₁＜1＜x₂，試求m的取值范圍；
（2）若g（x）=m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）確定m的取值范圍，使得函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）先求出x₁+x₂，x₁•x₂，由題意得：x₁+x₂=2e，x₁•x₂=1-m，代入求出即可；
（2）運(yùn)用基本不等式，即可得到g（x）的最小值，從而求出m的范圍；
（3）函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即為y=f（x）和y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，分別求得函數(shù)f（x）的最大值和g（x）的最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x²+2ex+m-1，
令f（x）=0，則x²-2ex+1-m=0，
則x₁+x₂=2e，x₁•x₂=1-m，
若f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，滿足x₁＜1＜x₂，
則（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0，
∴1-m-2e+1＜0，
解得：m＞2-2e；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+$\frac{{e}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{{e}^{2}}{x}}$=2e，
當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)，g（x）取得最小值，且為2e，
若g（x）=m有零點(diǎn)，只需m≥g（x）_最小值=2e，
∴m≥2e；
（3）函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
即為y=f（x）和y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由于g（x）在x=e處取得最小值2e，
f（x）=-（x-e）²+e²+m-1，即有f（x）在x=e處取得最大值e²+m-1，
則有e²+m-1＞2e，
解得m＞2e+1-e²．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2e+1-e²，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用和二次函數(shù)的最值的求法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．