Question

13．設(shè)動圓C與圓：（x-2）²+y²=1外切，與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若曲線E與C的軌跡關(guān)于直線y=x對稱，求兩曲線圍成封閉圖形的面積；
（3）過點F（0，2）任作一直線l交曲線E于A，B兩點，是否存在一直線使以A，B為切點的切線的焦點總在此直線上，若存在，求此直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓（x-2）²+y²=1可得：圓心F（2，0），半徑r=1．設(shè)所求動圓圓心為P（x，y），過點P作PM⊥直線l：x+1=0，M為垂足．可得：|PF|-r=|PM|，即|PF|=|PM|+1．因此可得：點P的軌跡是到定點F（2，0）的距離和到直線L：x=-2的距離相等的點的集合．由拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線．求出即可．
（2）求出A的坐標，利用定積分求兩曲線圍成封閉圖形的面積；
（3）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于A，B點橫坐標的一元二次方程，求兩根的和與積，再用導數(shù)求過A，B點的切線方程，求出交點坐標，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由圓（x-2）²+y²=1可得：圓心F（2，0），半徑r=1．
設(shè)所求動圓圓心為P（x，y），過點P作PM⊥直線l：x+1=0，M為垂足．
則|PF|-r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1．
因此可得：點P的軌跡是到定點F（2，0）的距離和到直線L：x=-2的距離相等的點的集合．
由拋物線的定義可知：點P的軌跡是拋物線，定點F（2，0）為焦點，定直線L：x=-2是準線．
∴拋物線的方程為：y²=8x．
∴與圓（x-2）²+y²=1外切，且與直線x+1=0相切的動圓圓心的軌跡方程是y²=8x；
（2）曲線E的方程為x²=8y，與y²=8x聯(lián)立可得A（8，8），
∴兩曲線圍成封閉圖形的面積為${∫}_{0}^{3}（\sqrt{8x}-\frac{1}{8}{x}^{2}）dx$=（$2\sqrt{2}•\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{24}{x}^{3}$）${|}_{0}^{8}$=$\frac{64}{3}$；
（3）由題意，設(shè)直線L的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
與拋物線方程聯(lián)立，消去y，并整理得，x²-8kx-16=0
∴x₁x₂=-16，x₁+x₂=8k．
∵拋物線的方程為y=$\frac{1}{8}$x²，求導得y′=$\frac{1}{4}$x，
∴過拋物線上A，B兩點的切線方程分別是
y-y₁=$\frac{1}{4}$x₁（x-x₁），y-y₂=$\frac{1}{4}$x₂（x-x₂）
解得兩條切線的交點M的坐標為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，-2）
∴曲線E在A，B兩點處的切線的交點總在直線y=-2上．

點評 本題考查了拋物線，橢圓與直線導數(shù)等的綜合應(yīng)用，考查了兩圓相外切的性質(zhì)、拋物線的定義、轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．