Question

4．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=n+1（n≥2），T_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，求證：T_n＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n=n+1（n≥2），當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 證明：∵a₁=1，a_n=n+1（n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴T_n=$\frac{1}{1×4}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
＜$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$=$\frac{13}{24}$$＜\frac{5}{3}$．
∴T_n＜$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．