橢圓
的離心率為
，且過點
直線
與橢圓M交于A、C兩點，直線
與橢圓M交于B、D兩點，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值
（1）
；（2）詳見解析；（3）最小值為
【解析】
試題分析：（1）依題意有
，再加上
，解此方程組即可得
的值，從而得橢圓
的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對角線AC和BD的中點重合
利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組
消去
得：
，顯然點A、C的橫坐標是這個方程的兩個根，由此可得線段
的中點為
同理可得線段
的中點為
，由于中點重合，所以
，解得：
或
(舍)這說明
和
都過原點即相交于原點
（3）由于對角線過原點且該四邊形為菱形，所以其面積為
由方程組
易得點A的坐標（用
表示），從而得
（用表示）；同理可得
（由于
，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值
試題解析：（1）依題意有，又因為，所以得
故橢圓的方程為 3分
（2）依題意，點
滿足
所以
是方程的兩個根
得
所以線段的中點為
同理，所以線段的中點為 5分
因為四邊形
是平行四邊形，所以
解得，或(舍)
即平行四邊形的對角線和相交于原點 7分
（3）點滿足
所以是方程
的兩個根，即
故
同理，
9分
又因為
，所以
，其中
從而菱形的面積
為
，
整理得
，其中 10分
故，當
或
時，菱形的面積最小，該最小值為 12分
考點：直線與圓錐曲線的位置關系
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
已知中心在原點、焦點在x軸的橢圓的離心率為
，且過點（
，
）.
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)若A,B是橢圓E的左、右頂點，直線
：
（
）與橢圓E交于
、
兩點，證明直線
與直線
的交點在垂直于
軸的定直線上，并求出該直線方程．
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山西省高三第一學期8月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，且過點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為
的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，試問在
軸上是否存在點
，使
是與
無關的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省株洲市高三第五次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，且過點
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為
的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，試問在
軸上是否存在點
，使
是與
無關的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省高二上學期期末文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，且過點（
），
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線
與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆陜西省西安市高二上學期期末考試理科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，且過點
，
為其右焦點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設過點
的直線
與橢圓相交于
、
兩點（點在
兩點之間），若
與
的面積相等，試求直線的方程.
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