Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax+1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{5}{2}，1]$．

Answer 1

分析 由f（x）解析式化簡|f（x）|，根據(jù)x的范圍分別化簡|f（x）|≥ax+1，利用分離常數(shù)法和函數(shù)圖象的切線求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，
則|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{5}{2}x+1，x＜0}\\{{e}^{x}，x≥0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式|f（x）|≥ax+1為：${x}^{2}-\frac{5}{2}x+1≥ax+1$，
所以a≥x-$\frac{5}{2}$在（-∞，0）上恒成立，則a≥-$\frac{5}{2}$；
當(dāng)x≥0時(shí)，不等式|f（x）|≥ax+1為：e^x≥ax+1，
①當(dāng)a≤0時(shí)，不等式e^x≥ax+1恒成立，
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=e^x在（0，1）處的切線方程是y=x+1，
所以不等式e^x≥ax+1恒成立需要：a≤1，
則a的取值范圍是（-∞，1]，
綜上可得，a的取值范圍是$[-\frac{5}{2}，1]$，
故答案為：$[-\frac{5}{2}，1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題以分段函數(shù)為載體考查恒成立問題，考查分離常數(shù)法，函數(shù)圖象的切線，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．