Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記b_n=$\frac{{S}_{n+1}}{n}$．
（1）若{a_n}是首項(xiàng)為a、公差為d的等差數(shù)列，其中a，d均為正數(shù)．
①當(dāng)3b₁，2b₂，b₃成等差數(shù)列時(shí)，求$\frac{a}94oirr4$的值；
②求證：存在唯一的正整數(shù)n，使得a_n+1≤b_n＜a_n+2．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為q（q＞2）的等比數(shù)列，若存在r，t（r，t∈N^*，r＜t）使得$\frac{_{t}}{_{r}}$=$\frac{t+2}{r+2}$，求q的值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出，
②若a_n+1≤b_n＜a_n+2，得到$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-n-\frac{2a}ai2luct≤0}\\{{n}^{2}+n-\frac{2a}ygzio48＞0}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）由已知條件可得$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，構(gòu)造f（n）=$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$，n≥2，n∈N*，利用定義證明其單調(diào)性，再分別賦值驗(yàn)證即可．

解答 解：（1）①∵3b₁，2b₂，b₃成等差數(shù)列，
∴4b₂=3b₁+b₃，
即4×$\frac{3a+3d}{2}$=2（2a+d）+$\frac{4a+6d}{3}$，
∴d=$\frac{4}{3}$a，
∴$\frac{a}mn2kh4q$=$\frac{3}{4}$，
②由a_n+1≤b_n＜a_n+2，
得a+nd=$\frac{1}{n}$[（n+1）a+$\frac{1}{2}$n（n+1）d]＜a+（n+1）d，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-n-\frac{2a}02uwcmy≤0}\\{{n}^{2}+n-\frac{2a}vbukccm＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}owkcw22}}{2}$＜n≤$\frac{1+\sqrt{1+\frac{8a}odqsoku}}{2}$，
由于$\frac{1+\sqrt{1+\frac{8a}z834i4c}}{2}$-$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}ri2oqqa}}{2}$=1且得$\frac{-1+\sqrt{1+\frac{8a}owo9auq}}{2}$＞0，
因此存在唯一的正整數(shù)n，使得a_n+1≤b_n＜a_n+2．
（2）∵$\frac{_{t}}{_{r}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{t+1}）}{t（1-q）}}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{r+1}）}{r（1-q）}}$=$\frac{t+2}{r+2}$，
∴$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，
設(shè)f（n）=$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$，n≥2，n∈N*，
則f（n+1）-f（n）=$\frac{{q}^{n+2}-1}{（n+1）（n+2）}$-$\frac{{q}^{n+1}-1}{n（n+2）}$=$\frac{{q}^{n+1}[（q-1）{n}^{2}+2（q-2）n-3]+2n+3}{（n+1）（n+3）n（n+2）}$，
∵q＞2，n≥2，
∴（q-1）n²+2（q-2）n-3＞n²-3≥1＞0，
∴f（n+1）-f（n）＞0，
即f（n+1）＞f（n），
∴f（n）為單調(diào)遞增，
∴當(dāng)r≥2時(shí)，t＞r≥2，
則f（t）＞f（r），即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$＞$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$，這與$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{r+1}-1}{r（r+2）}$互相矛盾，
∴r=1時(shí)，即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，
若t≥3，則f（t）≥f（3）=$\frac{{q}^{4}-1}{15}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$•$\frac{{q}^{2}+1}{5}$＞$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，即$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$＞$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，這與$\frac{{q}^{t+1}-1}{t（t+2）}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$互相矛盾，
于是t=2，
∴$\frac{{q}^{3}-1}{8}$=$\frac{{q}^{2}-1}{3}$，
即3q²-5q-5=0，
∵q＞2，
∴q=$\frac{5+\sqrt{85}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查等差的性質(zhì)的應(yīng)用，題目較為復(fù)雜，需要一步一步的分析求解，計(jì)算量要求較高，屬于難題．