Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C₁CB=60°，BC₁⊥A₁C，E為AC的中點(diǎn)，側(cè)棱CC₁=2．
（1）求證：A₁C⊥平面C₁EB；
（2）求直線CC₁與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BE⊥平面A₁ACC₁，可得BE⊥A₁C，即可證明：A₁C⊥平面C₁EB；
（2）判斷∠C₁CA為直線C₁C與面ABC所成的角．過(guò)H作HM⊥BC于M，連C₁M，即可求直線CC₁與平面ABC所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵AB=BC，E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BE⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴BE⊥A₁C．
又BC₁⊥A₁C，BE∩BC₁=B，∴A₁C⊥面C₁EB．
（2）解：∵面A₁ACC₁⊥面ABC，∴C₁在面ABC上的射影H在AC上，
∴∠C₁CA為直線C₁C與面ABC所成的角．過(guò)H作HM⊥BC于M，連C₁M，
在Rt△C₁CM中，CM=CC₁cos∠C₁CM=2cos60°=1．
在Rt△CMH中，$CH=\frac{CM}{cos∠ACB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴在Rt△C₁CH中，$cos∠{C_1}CH=\frac{CH}{{C{C_1}}}=\frac{{\frac{2}{3}\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴直線C₁C與面ABC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．