Question

5．對于函數(shù)f（x）=$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論；
（2）利用f（x）是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0，即可求出a．

解答 解：（1）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+1}}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＞0．
又${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)．--------------------（6分）
（2）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）+f（-x）=0．
即$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{-x}+1}$=a-1=0，∴a=1．
∴存在實數(shù)a=1，使f（x）是奇函數(shù)．--------------------（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．