Question

1．據(jù)報(bào)道，我國(guó)森林覆蓋率逐年提高，現(xiàn)已達(dá)國(guó)土面積的14%，某林場(chǎng)去年底森林木材儲(chǔ)存量為a立方米，若森林以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，計(jì)劃從今年起，每年冬天要砍伐的木材量為x立方米，為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲(chǔ)存量翻兩番的目標(biāo)，問：每年砍伐的木材量x的最大值是多大？（�。�$\frac{5}{4}$）²⁰≈87）

Answer 1

分析 通過設(shè)從今年起的每年年底木材儲(chǔ)存量組成的數(shù)列為{a_n}，利用已知條件計(jì)算出數(shù)列前幾項(xiàng)的值并歸納出a_n=$（\frac{5}{4}）^{n}$a+4[1-$（\frac{5}{4}）^{n}$]x，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)從今年起的每年年底木材儲(chǔ)存量組成的數(shù)列為{a_n}，
則a₁=a（1+$\frac{25}{100}$）-x=$\frac{5}{4}$a-x，
a₂=a₁（1+$\frac{25}{100}$）-x=$（\frac{5}{4}）^{2}$a-（$\frac{5}{4}$+1）x，
a₃=a₂（1+$\frac{25}{100}$）-x=$（\frac{5}{4}）^{3}$a-[$（\frac{5}{4}）^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x，
以此類推可歸納出：a_n=a_n-1（1+$\frac{25}{100}$）-x
=$（\frac{5}{4}）^{n}$a-[$（{\frac{5}{4}）}^{n-1}$+…+$（\frac{5}{4}）^{3}$+$（\frac{5}{4}）^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x
=$（\frac{5}{4}）^{n}$a+4[1-$（\frac{5}{4}）^{n}$]x，
根據(jù)題意可知：$（{\frac{5}{4}）}^{20}$a-4[$（{\frac{5}{4}）}^{20}$-1]x=4a，
又∵（$\frac{5}{4}$）²⁰≈87，
∴87a-4（87-1）x=4a，
解得：x=$\frac{87a-4a}{4×86}$=$\frac{83}{344}$a，
即每年砍伐的木材量的最大值是去年儲(chǔ)存量的$\frac{83}{344}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，考查運(yùn)算求解能力、分析問題及解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．