Question

已知，函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．  
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值；  
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，S_n是前n項(xiàng)和，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，令其等于0，即，可得x=a
若a≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（e）= ；
0＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a]是減函數(shù)，[a，e]是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a）=lna；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域的最小值為0，
∴l(xiāng)nx＞1- 在[1，+∞）上成立
令x= 得  ln（k+1）-lnk＞
令k=1，2，3，…，（n-1），
可得ln2-ln1＞ ，ln3-ln2＞ ，…，lnn-ln（n-1）＞
∵數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n= ，S_n是前n項(xiàng)和，
∴疊加，可得S_n-1＜lnn（n≥2）