Question

已知：函數(shù).（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…〉.

(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2) 當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)的極值；

(3)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是否總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程.

 

 

Answer 1

【答案】

解析：

（1）

所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為1

故所求切線(xiàn)方程為……………………..2分

（2）當(dāng)時(shí)恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽

又單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

所以函數(shù)的極大值為，極大值為…………………..5分

（3）①當(dāng)時(shí)

法一：因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的最大值為1，所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分

法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602333212091123/SYS201205260235360271680249_DA.files/image016.png">

而當(dāng)時(shí)，

又，，即當(dāng)時(shí)成立

所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..6分

②當(dāng)時(shí)，

法一：仿上可得函數(shù)在上時(shí)，上述結(jié)論仍然成立……………..7分

法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602333212091123/SYS201205260235360271680249_DA.files/image023.png">，由（2）知

而當(dāng)時(shí)

又，，即當(dāng)時(shí)成立……………..7分

而當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)遞減，其最小值為

所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系，

令

單調(diào)遞增

使得

上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增……………………………..10分

所以

即也即

所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)……………..12分

 

【解析】略