Question

16．已知f（x）=xlnx，則f（x）在x=1處的切線方程是y=x-1，若存在x＞0使得f（x）≤2x+m成立，則實數(shù)m的取值范圍是[-e，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），再求出f（1），代入直線方程的點斜式得答案；由f（x）≤2x+m，得xlnx≤2x+m，即m≥xlnx-2x．構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-2x，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值可得滿足條件的m的范圍．

解答 解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程是y-0=1×（x-1），即y=x-1；
由f（x）≤2x+m，得xlnx≤2x+m，
即m≥xlnx-2x．
令g（x）=xlnx-2x，則g′（x）=lnx-1，
由g′（x）=lnx-1=0，得x=e．
∴當(dāng)x∈（0，e）時，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（e，+∞）時，g′（x）＞0．
∴當(dāng)x=e時，g（x）有最小值為-e．
∴若存在x＞0使得f（x）≤2x+m成立，則實數(shù)m的取值范圍是[-e，+∞）．
故答案為：y=x-1，[-e，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．