Question

1．如果雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，則稱此雙曲線為黃金雙曲線．有以下幾個命題：
①雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{\sqrt{5}-1}=1$是黃金雙曲線； 
②雙曲線y${\;}^{2}-\frac{2{x}^{2}}{\sqrt{5}+1}=1$是黃金雙曲線；
③在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$中，F(xiàn)₁為左焦點，A₂為右頂點，B₁（0，b），若∠F₁ B₁ A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$中，過焦點F₂作實軸的垂線交雙曲線于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，若∠MON=120°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確命題的序號為（　�。�

• A． ①和②
• B． ②和③
• C． ③和④
• D． ①和④

Answer 1

分析 對于①②求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于③通過∠F₁B₁A₂=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于④，MN經(jīng)過右焦點F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=120°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤．

解答 解：①雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{\sqrt{5}-1}=1$中a=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{\sqrt{5}+1}$，離心率是$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$，故不是黃金雙曲線，即①不正確；
②由雙曲線y${\;}^{2}-\frac{2{x}^{2}}{\sqrt{5}+1}=1$，可得離心率e=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故該雙曲線是黃金雙曲線，即②正確；
③∵∠F₁B₁A₂=90°，∴$|{B}_{1}{F}_{1}{|}^{2}+|{B}_{1}{A}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{A}_{2}{|}^{2}$，∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化為c²-ac-a²=0，由③可知該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，MN經(jīng)過右焦點F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=120°，
∴NF₂=$\sqrt{3}$OF₂，∴$\frac{^{2}}{a}=\sqrt{3}c$，∴b²=$\sqrt{3}$ac，∴c²-a²=$\sqrt{3}$ac，
∴e²-$\sqrt{3}$e-1=0，∴e=$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{7}}{2}$，∴該雙曲線不是黃金雙曲線，
故選：B

點評 本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，a，b，c的關(guān)系，離心率的求法，考查計算能力．