Question

2．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$，求它的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{1}-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}-\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{（n-3）^{2}}-\frac{1}{（n-1）^{2}}+\frac{1}{（n-2）^{2}}-\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}[\frac{5}{4}-$$\frac{1}{（n+1）^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的性質(zhì)的合理運(yùn)用．