Question

19．已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)k，使得不等式$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$＜k恒成立？如果存在，試求出k的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由題意可得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）_max＜k，運(yùn)用柯西不等式，可得最大值，即可得到k的范圍．

解答 解：由柯西不等式可得
（1•$\sqrt{4a+1}$+1•$\sqrt{4b+1}$+1•$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）
=3×（4+3）=21．
當(dāng)且僅當(dāng)4a+1=4b+1=4c+1，即a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得等號．
即有$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值為$\sqrt{21}$．
故存在實(shí)數(shù)k，使得不等式$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$＜k恒成立．
則k的取值范圍是（$\sqrt{21}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，考查柯西不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．