Question

12．若a為正常數(shù)，θ為變量，圓C：（x-2acosθ）²+（y-2asinθ）²=a²．
（1）求證：圓心在一定圓上；
（2）求證：圓C恒與某定圓相切；
（3）當(dāng)θ（θ∈R）變化時(shí)，求動(dòng)圓C所覆蓋的區(qū)域的面積．

Answer 1

分析 （1）確定圓心坐標(biāo)，即可證明圓心在一定圓上；
（2）由（1）知，圓心坐標(biāo)（2acosθ，2asinθ）與原點(diǎn)的距離為2a，可證明圓C恒與某定圓相切；
（3）當(dāng)θ（θ∈R）變化時(shí)，動(dòng)圓C所覆蓋的區(qū)域的面積為π（9a²-a²）．

解答 （1）證明：圓C：（x-2acosθ）²+（y-2asinθ）²=a²的圓心坐標(biāo)為（2acosθ，2asinθ），半徑為a，
∴圓心坐標(biāo)為（2acosθ，2asinθ）滿(mǎn)足x²+y²=4a²，即圓心在以（0，0）為圓心，2a為半徑的圓上；
（2）證明：由（1）知，圓心坐標(biāo)（2acosθ，2asinθ）與原點(diǎn)的距離為2a，
∴圓C恒與圓x²+y²=a²相外切，與圓x²+y²=9a²相內(nèi)切；
（3）解：θ（θ∈R）變化時(shí)，求動(dòng)圓C所覆蓋的區(qū)域的面積為π（9a²-a²）=8πa²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的參數(shù)方程、圓方程的綜合應(yīng)用、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．