Question

在平面直角坐標系內(nèi)，動圓C過定點F(1,0)，且與定直線x＝－1相切．

(1)求動圓圓心C的軌跡C₂的方程；

(2)中心在O的橢圓C₁的一個焦點為F，直線l過點M(4,0)．若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在曲線C₂上，且直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長取得最小值時的橢圓方程．

Answer 1

解析：(1)因為圓心C到定點F(1,0)的距離與到定直線x＝－1的距離相等．

所以由拋物線定義知，C的軌跡C₂是以F(1,0)為焦點，

直線x＝－1為準線的拋物線，所以動圓圓心C的軌跡C₂的方程為y²＝4x.

(2)設(shè)P(m，n)，直線l方程為y＝k(x－4)，則OP中點為，

∵O、P兩點關(guān)于直線y＝k(x－4)對稱，

∴即解得

將其代入拋物線方程，得：＝4×，解得k²＝1.

設(shè)橢圓C₁的方程為＋＝1，

聯(lián)列消去y得：(a²＋b²)x²－8a²x＋16a²－a²b²＝0，

由Δ＝(－8a²)²－4(a²＋b²)(16a²－a²b²)≥0，

得a²＋b²≥16，

注意到b²＝a²－1，即2a²≥17，可得a≥，即2a≥，

因此，橢圓C₁長軸長的最小值為，此時橢圓的方程為＝1.