Question

13．求三角方程cos2πx-3cosπx+2=0，x∈[0，100]的所有整數(shù)解的和．

Answer 1

分析 先由二倍角公式可得2cos²πx-3cosπx+1=0，再因式分解可得（2cosπx-1）（cosπx-1）=0，從而可得x=2k+$\frac{1}{3}$或x=2k-$\frac{1}{3}$或x=2k；（k∈Z），從而寫出其在[0，100]內(nèi)的整數(shù)解為0，2，4，6，…，100，再利用等差數(shù)列求和公式求和即可．

解答 解：∵cos2πx-3cosπx+2=0，
∴2cos²πx-1-3cosπx+2=0，
∴2cos²πx-3cosπx+1=0，
即（2cosπx-1）（cosπx-1）=0，
即cosπx=$\frac{1}{2}$或cosπx=1；
故πx=2kπ+$\frac{π}{3}$，πx=2kπ-$\frac{π}{3}$或πx=2kπ；
故x=2k+$\frac{1}{3}$或x=2k-$\frac{1}{3}$或x=2k；（k∈Z），
故其在[0，100]內(nèi)的整數(shù)解為：
0，2，4，6，…，100，
故其和S=2+4+6+…+100=$\frac{2+100}{2}$×50=2550．

點評 本題考查了三角恒等變換及因式分解的應用，同時考查了等差數(shù)列前n項和公式的應用，屬于中檔題．