Question

【題目】已知拋物線上一點到其焦點F的距離為5．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標原點，若，求證：直線l必過一定點，并求出該定點的坐標；

（3）過點的直線m與拋物線C交于不同的兩點M、N，若，求直線m的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線l過定點，證明見解析（3）

【解析】

（1）解法1：根據(jù)拋物線的定義列方程，求得p的值，寫出拋物線方程；

解法2：將代入，再由點T到其焦點F的距離，

列出方程組求得p的值，再寫出拋物線方程；

（2）可直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，

利用根與系數(shù)的關系計算，從而證明直線l過定點；

（3）依題意設直線m的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，

利用根與系數(shù)的關系計算，由得k的取值范圍．

解：（1）解法1：由題意，根據(jù)拋物線的定義，有，解得，

所以拋物線C的方程為；

解法2：將代入得，，

又點到其焦點F的距離為5，焦點坐標為，所以，

將代入整理得，解得，

故拋物線C的方程為；

（2）依題意，直線l的斜率存在，設l的方程為，

由得，

設，，則，，

所以

，

令，得，所以直線l過定點．

（3）依題意，直線m的斜率k存在且，設m的方程為，

由消去y，得，

由，即，解得或．

設，，則，，且，，

所以

，

因為，所以，解得；

所以，直線m的斜率的取值范圍是．