Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點O為坐標(biāo)原點，若橢圓C與曲線|y|=x的交點分別為A，B（A下B上），且A，B兩點滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C上異于其頂點的任一點P，作⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的兩條切線，切點分別為M，N，且直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）利用若橢圓C與曲線|y|=x的交點分別為A，B（A下B上），且A，B兩點滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2，確定B的坐標(biāo)，將B的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程，結(jié)合離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得a，b，即可求出橢圓的方程；
（2）設(shè)點P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切點知，OM⊥MP，ON⊥NP，推出圓的方程，過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的兩條切線，切點分別為M、N，求出直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，然后證明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$為定值．

解答 （1）解：∵橢圓C與曲線|y|=x的交點分別為A，B（A下B上），
∴可得B（x，x），A（x，-x）（x＞0），
∵A，B兩點滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2，
∴（x，x）•（0，2x）=2，
∴x=1，
∴B（1，1），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=2，b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$；
（2）證明：設(shè)點P（x₁，y₁），由M、N是⊙0的切點知，OM⊥MP，ON⊥NP，
∴O、M、P、N四點在同一圓上，且圓的直徑為OP，則圓心為（$\frac{{x}_{1}}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
其方程為x²+y²-x₁x-y₁y=0-----①
即點M、N滿足方程④，又點M、N都在⊙O上，

∴M、N坐標(biāo)也滿足方程⊙O：x²+y²=$\frac{4}{3}$---------------②
②-①得直線MN的方程為x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，又點P在橢圓E上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，即$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值．

點評 此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．