Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，sin（A+B）+sin（A-B）=2sin2B．若$C=\frac{π}{3}$，則$\frac{a}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或3
• D． 2或$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入題中等式并利用三角恒等變換化簡，整理得cosB（sinA-3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理與直角三角形中三角函數(shù)的定義加以計算，可得$\frac{a}$的值．

解答 解：由題意可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，
故所給的等式即 sinC+sin（A-B）=3sin2B，
即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB-cosAsinB）=6sinBcosB，
化簡得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA-3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，結(jié)合B為三角形的內(nèi)角，可得B=$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$．
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以$\frac{a}$=3．
綜上所述，$\frac{a}$的值為$\frac{1}{2}$或3，
故選：C．

點評 本題給出三角形角的三角函數(shù)關(guān)系式，求邊之間的比值．著重考查了三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的定義和正余弦定理等知識，屬于中檔題．