Question

12．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB，其中$OA=3km，OB=3\sqrt{3}km$，∠AOB=90°．當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖△OMN，其中M，N都在邊A，B上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下的△OBN地帶開設(shè)兒童游樂場(chǎng)．為了安全起見，需在△OAN的一周安裝防護(hù)網(wǎng)．
（1）當(dāng)$AM=\frac{3}{2}km$時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的$\sqrt{3}$倍，試確定∠AOM的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知求出∠OAB=60°，OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，從而OM⊥AN，進(jìn)而△OAN為正三角形，由此能求出防護(hù)網(wǎng)的總長度．
（2）設(shè)∠AOM=θ，（0°＜θ＜60°），由已知得ON=6$\sqrt{3}$sinθ，ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，從而6$\sqrt{3}$sin$θ=\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，由此能確定∠AOM的大小．

解答 解：（1）在△OAB中，∵OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，∴∠OAB=60°，
在$△AOM中，OA=3，AM=\frac{3}{2}$，∠OAM=60°，
∴由余弦定理，得OM=$\sqrt{9+\frac{9}{4}-2×3×\frac{3}{2}×cos60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OM²+AM²=OA²，∴OM⊥AN，∴∠AOM=30°，
∴△OAN為正三角形，∴△OAN的周長為9，
∴防護(hù)網(wǎng)的總長度為9km．
（2）設(shè)∠AOM=θ，（0°＜θ＜60°），
∵${S}_{△OMN}=\sqrt{3}{S}_{△OAM}$，
∴$\frac{1}{2}ON•OMsin30°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}×OA×OM×sinθ$，∴ON=6$\sqrt{3}$sinθ，
在△OAN中，由$\frac{ON}{sin60°}=\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{sinθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
從而6$\sqrt{3}$sin$θ=\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，∴sin2$θ=\frac{1}{2}$，
∵0°＜2θ＜120°，∴2θ=30°，∴θ=15°，
∴∠AOM=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理、余弦定理、勾股定理的合理運(yùn)用．