Question

15．如圖，在等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，其中0＜λ＜1，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}$=0，則λ的值為$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 將$\overrightarrow{PC}$表示為$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$，利用向量數(shù)量積公式，將關(guān)系式化簡(jiǎn)得出關(guān)于λ的方程并解出即可．注意0＜λ＜1．

解答 解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1．則|$\overrightarrow{AP}$|=λ，|$\overrightarrow{PB}$|=1-λ．（0＜λ＜1），
由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{AB}$=0，可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{AB}$=0
∴λ×（1-λ）cos180°+1×1×cos60°+λ×1×cos180°=0．
化簡(jiǎn)-$\frac{1}{2}$+λ=-λ（1-λ），整理λ²-2λ+$\frac{1}{2}$=0，解得λ=$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$（λ=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$＞1舍去）．
故答案為：$\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量基本定理，關(guān)鍵是將$\overrightarrow{PC}$表示為$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{AC}$，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便應(yīng)用向量數(shù)量積公式計(jì)算化簡(jiǎn)．