Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓上的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，

又直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，即可求得a,b,進(jìn)而得到橢圓的方程；

（2）由題意知M、N是橢圓上的兩點(diǎn)，且OM⊥ON，故設(shè)M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），由題設(shè)條件能夠推出|MN|的最小值為．

（1）因?yàn)?/span>與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，

又直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，

所以橢圓的頂點(diǎn)為，，

故所求橢圓方程為

（2）由題意知是橢圓上的兩點(diǎn)，且，故設(shè)，

，其中，，

于是，，

從而.

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

所以，即，.

故所求的最小值為.