Question

6．課本上的探索與研究中有這樣一個問題：
已知△ABC的面積為S，外接圓的半徑為R，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，用解析幾何的方法證明：$R=\frac{abc}{4S}$．
小東根據(jù)學(xué)習(xí)解析幾何的經(jīng)驗，按以下步驟進行了探究：
（1）在△ABC所在的平面內(nèi)，建立直角坐標系，使得△ABC三個頂點的坐標的表示形式較為簡單，并設(shè)出表示它們坐標的字母；
（2）用表示△ABC三個頂點坐標的字母來表示△ABC的外接圓半徑、△ABC的三邊和面積；
（3）根據(jù)上面得到的表達式，消去表示△ABC的三個頂點的坐標的字母，得出關(guān)系式．
在探究過程中，小東遇到了以下問題，請你幫助完成：
（Ⅰ）為了△ABC的三邊和面積表達式及外接圓方程盡量簡單，小東考慮了如下兩種建系方式；你選擇第①種建系方式．
（Ⅱ）根據(jù)你選擇的建系方式，完成以下部分探究過程：
（1）設(shè)△ABC的外接圓的一般式方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0；
（2）在求解圓的方程的系數(shù)時，小東觀察圖形發(fā)現(xiàn)，由圓的幾何性質(zhì)，可以求出圓心的橫坐標為$\frac{m+n}{2}$，進而可以求出D=-m-n；
（3）外接圓的方程為x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．

Answer 1

分析 選擇坐標系，利用待定系數(shù)法，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓的一般式方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則D=-m-n，
∴方程為x²+y²+（-m-n）x+Ey+F=0，
代入（0，p），（n，0），可得$\left\{\begin{array}{l}{{p}^{2}+Ep+F=0}\\{{n}^{2}+（-m-n）n+F=0}\end{array}\right.$，
∴F=mn，E=-p-$\frac{mn}{p}$，
∴外接圓的方程為x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．
故答案為：①；Ey+F；$\frac{m+n}{2}$；-m-n；x²+y²+（-m-n）x+（-p-$\frac{mn}{p}$）y+mn=0．

點評 本題考查圓的方程，考查待定系數(shù)法的運用，正確建立坐標系是關(guān)鍵．