Question

7．已知a∈R，求函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+ln x-1在區(qū)間（0，e]上的最小值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出區(qū)間上的最小值．

解答 解：f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
∴f（x）在（0，e）無最小值，
②0＜a＜e時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴函數(shù)f（x）在（0，a）遞減，在（a，e]遞增，
∴f（x）_min=f（a）=1+lna-1，
③a≥e時，f′（x）＜0，
f（x）在（0，e]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（e）=$\frac{a}{e}$．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．